Funciones.: Forma canónica

lunes, 15 de noviembre de 2010

Forma canónica

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:

Dado:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

$f(x) = a \left ( x^2 + \frac{b}{a} x \right ) + c \,$

Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

$f(x) = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4 a^2} \right ) + c - \frac{b^2}{4 a}$

Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

$f(x) = a \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

sustituyendo:

$h = \frac{-b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$

la expresión queda:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

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